Ana sayfa Matematik Çarpanlara Ayırma Konu Anlatımı

Çarpanlara Ayırma Konu Anlatımı

32
0

ÇARPANLARA AYIRMA

Çarpanlara ayırma işlemlerinde örnek uygulamalar ve buna benzer içerikler ile ilgili örnek anlatım hazırlanmıştır.İçerisinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenlerin her değeri için daima doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.

Örnek: 

5x – 10 = 5(x – 2)           eşitliği bir özdeşlik tir.
(x + y)2 = x2 + xy + y2     eşitliği bir özdeşlik değildir.

Bunun Sebebi İse;

x = 2 ve y = 1 seçildiğinde,
(2 + 1)2 = 22 + 2.1 + 12
        32 = 4 + 2 + 1

9 ≠7 olduğundan özdeşlik belirtmez.
g(x) ≠ 1 , h(x) ≠ 1 olmak üzere,
f(x) = g(x).h(x) şeklinde yazılabiliyorsa,
f(x) çarpanlarına ayrılmış olur. g(x) ve h(x), f(x) in çarpanları dır.

Örnek: 

x2 + x  =  x.(x + 1)olduğu düşünüldüğünde,

x2 + x in çarpanlarına ayrılmış şekli x.(x + 1) dir.

Ancak;
x2+x+2 = x(x+1)+2 ise iki fonksiyonun çarpımı şeklinde yazılamadığından çarpanlarına ayrılmış olmaz.

Çarpanlara Ayırma Metodları


1- Ortak Çarpan Parantezine Alma:

Toplam ya da fark durumundaki ifadelerin hepsinde aynı terim varsa, o terimi diğerleri ile çarpım şeklinde yazabiliriz.

 

f(x) . g(x) + f(x).h(x) = f(x) [g(x) + h(x)]

Aşağıdaki ifadeleri ortak çarpan parantezlerine alarak çarpanlara ayırınız.

a) 2x + 2y + 4z
b) x2 + 2x
c) 5x – 10y
d) 3x – 3y + 9

a) 2x + 2y + 4z = 2(x + y + 2z)
b) x2 + 2x = x(x + 2)
c) 5x – 10y = 5(x – 2y)
d) 3x – 3y + 9 = 3(x – y + 3)

Örnek: 

2x3 – 4x2 + 6x ifadesini çarpanlara ayırınız.

2x3 – 4x2 + 6x ifadesinde her terimdeki ortak çarpan 2x tir.
2x(x2 – 2x + 3)

Örnek: 

8a2b – 12abifadesini çarpanlarına ayırınız.

8a2b – 12ab2 ifadesindeki her terimdeki ortak çarpan 4ab dir.
4ab(2a – 3b)


2- Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma:

Bir fonksiyonun her teriminde ortak çarpan yoksa, ortak çarpanı olan terimler bir araya getirilir ve ortak çarpan parantezine alınır.

ax + ay + bx + by

ifadesinde ilk iki terim a ortak parantezine son iki terim b ortak parantezine alındığında,

a(x + y) + b(x + y)
x + y ortak çarpan parantezine alındığında
(x + y)(a + b) elde edilir.

Örnek: 

ab + 2a + 3b + 6 ifadesini çarpanlara ayırınız.

ab + 2a + 3b + 6 ilk iki terim a ve son iki terim 3 parantezine alınırsa,
a(b + 2) + 3(b + 2)
b + 2 ortak çarpan parantezine alındığında
(b + 2)(a + 3)

Örnek: 

x2 + 2x – xy – 2y ifadesini çarpanlara ayırınız.

x2 + 2x – xy – 2y
x(x + 2) – y(x + 2)
(x + 2)(x – y)

Örnek: 

4a(b2 + 1) + b(16 + a2) ifadesini çarpanlara ayırınız.

4a(b2+1) + b(16 +a2)
4ab2+4a + 16b+ba2
4b(ab + 4) + a(4 + ab)
(4 + ab).(4b + a)


3- Özdeşliklerden Yararlanılarak Çarpanlara Ayırma:

Bilinmeyene verilen özel değerler için sağlanan eşitliklere denklem, bilinmeyene verilen her değer için sağlanan eşitliklere özdeşlik denir.

Örnek: 

3x – 9 = 0 eşitliği
3x = 9
x = 3 için sağlandığından denklemdir.
Ancak
x2 – y2 = (x – y)(x + y) eşitliği her x, y reel sayısı için sağlandığından özdeşlik tir.

İki Kare Farkı Özdeşliğinden Yararlanılarak Çarpanlara Ayırma

A2 – B2 = (A – B).(A + B)

Örnek: 

2032 – 2012 işleminin sonucu kaçtır?

2032 – 2012 = (203 – 201)(203 + 201)
= 2 . 404
= 808 bulunur.

Tamkare Özdeşliğinden Yararlanılarak Çarpanlara Ayırma:

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2

 

Örnek: 

Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini bulalım.

(x + 5)2 = x2 + 2.x.5 + 52
= x2 + 10x + 25

\dpi{120} \fn_jvn \begin{pmatrix} \frac{1}{3}-2\sqrt{3} & \\ \end{pmatrix}^{3}=\begin{pmatrix} \frac{1}{3}\\ \end{pmatrix}^{2} -2.\frac{1}{3}.2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^{2}

\dpi{120} \fn_jvn = \frac{1}{9} - \frac{4\sqrt{3}}{3} + 12

\dpi{120} \fn_jvn \begin{pmatrix} 2x-\frac{3}{x}\\ \end{pmatrix}^{2} = (2x)^{2} - 2.2x.\frac{3}{x} + (\frac{3}{x})^{2}

\dpi{120} \fn_jvn = 4x^{2} - 12 + \frac{9}{x^{2}}

\dpi{120} \fn_jvn 4x^{2} + \frac{9}{x^{2}} - 12

Örnek: 

\dpi{120} \fn_jvn x=\frac{1}{4}  \dpi{120} \fn_jvn y = \frac{3}{8}

 

olduğuna göre,

\dpi{120} \fn_jvn \frac{x^{2} + 2xy + y^{2}}{x^{2} - 2xy + y^{2}}

ifadesinin değeri kaçtır?

 

Çözüm:

x2+ 2xy + y2 = (x + y)2

x2 – 2xy + y2 = (x – y)2

\dpi{120} \fn_jvn \frac{x^{2} + 2xy + y^{2} }{x^{2} - 2xy + y^{2} }=\frac{(x + y)^{2}}{(x - y)^{2}}= (\frac{x + y}{x - y})^{2}

x ve y değerlerini yazdığımızda

\dpi{150} \fn_jvn \large \begin{bmatrix} \frac{\frac{1}{4} +\frac{3}{8}}{\frac{1}{4}-\frac{3}{8}}\\ \end{bmatrix}^{2} = \begin{bmatrix} \frac{\frac{1}{4}}{\frac{-1}{4}}\\ \end{bmatrix}^{2}

=  ( -5  ) = 25 bulunur.

İki Küp Toplamı veya İki Küp Farkı Özdeşliğinden Yararlanılarak Çarpanlara Ayırma

Örnek:

a – b = 5 , a.b = 5

olduğuna göre, a3 – b3 kaçtır ?

(a – b)2 = (5)2
a2 + b2 – 2ab
a2 + b2 = 35

a3 – b3– ( a – b ) (a2 + ab + b2  )

= 5 . 40 = 200 bulunur.

PAYLAŞ
Önceki makaleÇarpanlara Ayırma
Sonraki makaleVatandaşlık İdare Hukuku
Bilim Delisi, Öğretmen, Yazılımcı, Grafiker ve Editör Kendi işini kendi yapmayı seven sürekli gelişime açık, yenilikleri hayranlıkla izleyen ve bunu kendinde izleyen, sürekli araştıran bilginin yararlı ve paylaşılması gerektiğine inanan genç teknoloji aşığı... Adobe Photoshop Adobe Illustraor Adobe After Effects Wordpres Editör Yazılımcı ( ASP, SQL) Öğretmen Elektronik Programcısı "Fazlasından Hiç Çekinmedim, Üzüldüğüm Azına Kaldıklarım"

BİR CEVAP BIRAK

Please enter your comment!
Please enter your name here