Ana sayfa Matematik Asal Sayılar ve Faktöriyeller

Asal Sayılar ve Faktöriyeller

17
0

Asal Sayılar ve Faktöriyeller

Matematik konularından bir önceki paylaşımımız da asal sayıları paylaşmıştık. Burada yeniden Asal sayılar ve Faktöriyeller konusunu paylaştık içeriklerimiz hakkında itirazınız yada hatalı soru olduğunu düşünüyorsanız lütfen bize bildiriniz. 

Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1′ den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2′ dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır. Asal sayılar kümesi,

{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … } dir.  Fermat Teoremi’ ne göre, n asal sayı olmak üzere, 2n – 1 şeklinde yazılabilen sayılar asal sayıdır. Örneğin,

22 – 1, 23 – 1, 25 – 1, 27 – 1, 211 – 1, … sayıları, asal sayıdır.

1′ den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara, aralarında asal sayılar adı verilir. Birden fazla sayının aralarında asal olması için, bu sayıların asal sayı olması gerekmez. Asal sayılar, kesinlikle aralarında asal sayılardır. Bununla birlikte, 10 ve 81 sayısı birer asal sayı olmamasına rağmen, aralarında asal sayılardır. Diğer taraftan, 10 ile 8 sayısı birer asal sayı olmamasına rağmen, 2 ortak bölenleri olduğu için, aralarında asal sayılar değildir. Bir sayı aralarında asal iki sayıya bölünebiliyorsa, bu iki sayının çarpımına da bölünür.

Örneğin, 

• 2, 9

• 10, 81

• 5, 29

• 3, 8

• 2, 10, 35

Faktöriyel, 1′ den n’ ye kadar olan doğal sayıların çarpımıdır. n, bir doğal sayı olmak üzere, n faktöriyel

n! = 1.2.3.4.5.6. … .(n-2).(n-1).n

veya

n! = n.(n-1).(n-2).(n-3).(n-4). … .5.4.3.2.1 şeklinde tanımlanır.

0! ile 1! ‘ in 1 olduğu varsayılacaktır. Yani, 0! = 1 ve 1! = 1 dir.

1′ den büyük doğal sayıların faktöriyelleri ise şöyle hesaplanacaktır:

• 2! = 2.1 = 2

• 3! = 3.2.1 = 3.2! = 3.2 = 6

• 4! = 4.3.2.1 = 4.3! = 4.3.2! = 4.3.2 = 24

• 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3! = 5.4.6 = 20.6 = 120

• 6! = 6.5.4.3.2.1 = 6.5! = 6.120 = 720

• 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 7.6! = 7.720 = 5040

• n! = n.(n-1).(n-2).(n-3). … .3.2.1 = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)!

• (2n)! = 2n.(2n-1)(2n-2). … .3.2.1 = 2n.(2n-1)! = 2n.(2n-1).(2n-2)!

• (3n)! = 3n.(3n-1).(3n-2). … .3.2.1 = 3n.(3n-1)! = 3n.(3n-1).(3n-2)!

• (n+1)! = (n+1).n.(n-1). … .3.2.1 = (n+1).n! = (n+1).n.(n-1)!

• (n-1)! = (n-1).(n-2).(n-3). … .3.2.1 = (n-1),(n-2)! = (n-1).(n-2).(n-3)!

1. n >= 2 olmak üzere, n! çift doğal sayıdır.

2. n >= 5 olmak üzere, n! sayısının son rakamı 0′ dır. Yani, n! sayısının sonunda genelde 5 asal çarpanlarının sayısı kadar 0 rakamı bulunur.

3. n! – 1 sayısının sonundaki 9 rakamlarının sayısı, n! sayısının sonundaki sıfır rakamlarının sayısı kadardır.

4. x, y, n bir sayma sayısı olmak üzere, a bir asal sayı ise,

y! = an.x

koşulunu sağlayan en büyük n değerini bulmak için

• y sayısı, a asal sayısına bölünür

• Ardışık bölme işlemine, bölme sıfır oluncaya kadar devam edilir ve bölümler toplanır.

5. x, y, n bir sayma sayısı olmak üzere, a bir asal sayı değilse,

y! = an.x

koşulunu sağlayan en büyük n değerini bulmak için

• Bu sayı asal çarpanlarına ayrılarak her asal sayı için aynı işlem yapılır

• Bulunan asal sayıların kuvvetleri uygun biçimde düzenlenir.

Örnek 1: 6! + 5! işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: 6! + 5! = 6.5! + 5! = (6+1).5! = 7.5! = 7.120 = 840

Örnek 2: 37! sayısının sondan kaç tane basamağı sıfırdır?

Çözüm: 37! sayısının içinde bulunan 5 asal çarpanlarının sayısını bulmalıyız. Bu işlemi iki farklı yolla yapabiliriz.

Örnek 3: 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + … + 40! toplamının 20 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm: 20 = 5 . 4 tür. Dolayısıyla, 4 ve 5 çarpanını bulunduran her sayı 20 ile tam bölünür. Yani, 5! ve 5! den büyük sayıların toplamı 20 ile tam olarak bölünür. Bu takdirde, 0! + 1! + 2! + 3! + 4! toplamının 20 ile bölümünden kalanı bulursak, istenen toplamın 20 ile bölümünden kalanı bulmuş oluruz. Buna göre,

0! + 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1 + 2.1 + 3.2.1 + 4.3.2.1 = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 = 34

34 ün 20 ye bölümünden kalan, 14 tür. O halde, 0! + 1! + 2! + 3! + … + 40! toplamının 20 ile bölümünden kalan 14 tür.

Örnek 4: 45! + 60! toplamının sonunda kaç tane sıfır vardır?

Çözüm: Küçük sayının sonunda kaç tane sıfır varsa, toplamın sonunda da o kadar sıfır olacağından,

45 in 5 e bölünmesiyle, 45 = 5 . 9 + 0 ve 45 in 25 e bölünmesiyle 45 = 25 . 1 + 20 elde edilir. Dolayısıyla, 45! + 60! toplamının sonundaki sıfırların sayısı, bölümlerin toplamı olduğundan, 1 + 9 = 10 bulunur.turkeyarena.net

İkinci yol olarak, 45 = 5 . 9 + 0, 9 = 5 . 1 + 4 olduğundan, sıfırların sayısı yine

1 + 9 = 10 olur.

Örnek 5: 48! – 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır?

Çözüm: 48! in sonunda ne kadar sıfır varsa, o kadar 9 rakamı vardır. Dolayısıyla,

48 = 5 . 9 + 3, 9 = 5 . 1 + 4 olduğundan, 9 + 1 = 10 tane 9 rakamı vardır.

Örnek 6: x ve n sayma sayıları olmak üzere, 35! = 3n.x ise, n nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Çözüm: n nin alabileceği en büyük değeri bulmak için 35! in içindeki 3 asal çarpanlaının sayısını bulmamız gerekir. Bu işlemi yaparsak, Ardışık bölme işlemleri sonucunda bölümler şöyle bulunur:

35 = 3 . 11 + 2, 11 = 3 . 3 + 2, 3 = 3 . 1 + 0

Dolayısıyla, n nin alabileceği en büyük değer, 11 + 3 + 1 = 15 olur.

Örnek 15: n bir doğal sayı olmak üzere,

83! / 14n işleminin sonucunun doğal sayı olması için, n’ nin en büyük değeri kaç olmalıdır?

Çözüm: 14 = 2 . 7 olduğu için, 83! in içerisinde kaç tane 7 çarpanı varsa, n’ nin en büyük değeri odur. Dolayısıyla,

83 = 7.11 + 6, 11 = 7.1 + 4 olduğundan, n’ nin alabileceği en büyük değer 11 + 1 = 12 olur.

Örnek 16: m ve n ardışık çift doğal sayılardır. m > n olmak üzere, ise, n kaçtır?

Çözüm: m > n koşuluna göre, n = 2k ve m = 2k + 2 olsun.

Örnek 17: 1! + 2! + 3! + … + 843! toplamı hesaplandığında birler basamağındaki rakam kaç olur?

Çözüm:Her terimi tek tek hesaplayalım.

1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, …

5! ve 5! den büyük sayıların birler basamağı 0 olacağından, bunları göz önüne almaya gerek yoktur. Bu nedenle, 5! den önceki sayıların toplamını alıp 10′ a bölmeliyiz.turkeyarena.net Bu durumda, kalan birler basamağını verecektir.

1 + 2 + 6 + 24 = 33 olur ve Kalan 33 = 10.3 +3 bulunur.

Dolayısıyla, birler basamağı 3 tür.

Örnek 18: 8! + 9! + 10! toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez?

a) 750 b) 625 c) 250 d) 125 e) 10

Çözüm:

8! + 9! + 10! = 8! . (1 + 9 + 10.9) = 8! . 100 =8! . 102 = 8! . (2.5)2 = 8! . 22 . 52  8! de 1 tane 5 olduğundan, tüm toplamda 3 tane 5 bulunmaktadır. Dolayısıyla, 625 = 54 olduğundan, toplam 625 ile bölünemez.

BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

Bir tam sayının, asal çarpanlarının kuvvetlerinin çarpımı biçiminde yazılmasına bu sayının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılması denir.

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = am . bn . ck olsun.

Bu durumda aşağıdakileri söyleyebiliriz:

  • A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı,

(m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.

  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam bölenidir.
  • A sayısının tam sayı bölenleri sayısı,

× (m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.

  • A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı,

  • A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.
  • A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı,

– (a + b + c) dir.

  • A sayısından küçük A ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısı,

A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı:

PAYLAŞ
Önceki makaleAsal Sayılar
Sonraki makaleBasamak Kavramları ve Çözümlemeler
Bilim Delisi, Öğretmen, Yazılımcı, Grafiker ve Editör Kendi işini kendi yapmayı seven sürekli gelişime açık, yenilikleri hayranlıkla izleyen ve bunu kendinde izleyen, sürekli araştıran bilginin yararlı ve paylaşılması gerektiğine inanan genç teknoloji aşığı... Adobe Photoshop Adobe Illustraor Adobe After Effects Wordpres Editör Yazılımcı ( ASP, SQL) Öğretmen Elektronik Programcısı "Fazlasından Hiç Çekinmedim, Üzüldüğüm Azına Kaldıklarım"

BİR CEVAP BIRAK

Please enter your comment!
Please enter your name here